Aller au contenu

Tèorèmo de Tchebychev

De Vouiquipèdia, l’enciclopèdia abada.
Cél articllo est ècrit en arpetan supradialèctâl / ORB lârge. Lo blâson panarpetan


En matèmaticos, lo tèorèmo de Tchebychev afirme qu'entre un entiér et son doblo, il ègziste tojorn un nombro premiér.

Més prècisament, l'ènonciê cotemiér est lo d'aprés :

Por tot entiér , il ègziste un nombro premiér d'ense que n .

Ceti-ce at étâ suposâ per Joseph Bertrand, pués dèmontrâ per Pafnouti Tchebychev en 1850.

Ènonciês[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

  • L'ènonciê cotemiér du tèorèmo de Tchebychev :
    1. Por tot entiér , il ègziste un nombro premiér d'ense que n .
    O est èquivalent ux quatro siuvents :
    2. Por tot entiér , il ègziste un nombro premiér d'ense que n .
    3. Por tot entiér , , yô est la fonccion de compto des nombros premiérs.
    4. Por tot tôx , , yô est la suite des nombros premiérs.
    5. Por tot tôx , , yô est lo ècârt entre un nombro premiér et lo d'aprés.
    et pués ux variantes obtenues en remplacient, dens los ènonciês 1 a 3, « por tot entiér » per « por tot rèèl ».
  • Celi èxprimâ per Joseph Bertrand et dèmontrâ per Pafnouti Tchebychev, ére legiérement més fôrt :

Por tot entiér , il ègziste un nombro premiér d'ense que n [1],[2],[3].

Historico[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

La suposicion est ènonciê por lo premiér côp en 1845 per Joseph Bertrand dens una ètude sur des groupes de permutations, aprés qu'il at controlâ sa validitât por tôs los nombros enfèriors a 6 milyons.

O est Pafnouti Tchebychev qu'obtint, en 1850, la premiére dèmonstracion : il utilise spècialament un encâdrament de la factoriala per des fonccions dèrivâyes de la formula de Stirling et pués la fonccion , dèfenia per , yô parcôrt los nombros premiérs enfèriors ou ègâls a x [4]. Dês alor, la suposicion s'apèle asse « tèorèmo de Tchebychev[5] » ou, més rârament, « tèorèmo de Bertrand-Tchebychev ».

Edmund Landau, en 1909, dens son ovrâjo de sintèsa des cognessences de l'època sur la rèparticion des nombros premiérs, reprend por l'èssencièl la dèmonstracion de Tchebychev.

En 1919, Srinivasa Ramanujan dona du postulat de Bertrand una dèmonstracion més simpla.

En 1932, Paul Erdős, a l'ocasion de sa premiére publecacion, a l'âjo de 19 ans, publeye una dèmonstracion a chavon èlèmentèra dens qu'il utilise los coèficients binomiaux. Por son èlègance, ceta dèmonstracion de Erdős est yona de celes retenues per Martin Aigner et Günter M. Ziegler dens lor lévro Rêsonements divins.

Dèmonstracion[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

Notens l'ensemblo des nombros premiérs et dèfenéssens :

.

Vê-ce lo plan de la dèmonstracion :

  • lèmo de majoracion de  ;
  • vèrificacion èxplique a chavon de la propriètât por ne ' ≤ 630 ;
  • dèmonstracion de la propriètât (dens sa vèrsion cotemiére) por ne ' > 630 (en utilisant lo lèmo).

Lèmo de majoracion de θ(x)[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

Pour tout entier .

Vèrificacion por "n" ≤ 630[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

Se 2 ≤ "n" ≤ 630, on utilise lo procèdâ de Landau :

considèrens la suite d'onze nombros premiérs 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317 et 631, châcun étent strictament enfèrior u doblo de son devantiér.

Il ègziste doux nombros siuvus de ceta lista, "q" et "p", tâls que

, donc et .

En ples, per construccion de ceta lista, , cen que, juent a , dona . On at donc ben

.

Prôva por "n" > 630[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

Enstalacion de la stratègie[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

Per la formula du binômio,

.

Vu que est lo més grant tèrmeno de la soma, on en dèduit : . Apelens lo més grant nombro "x" d'ense que divise . On at donc

,

avouec

.

Por minorar (por montrar que ) on vat majorar , et . Il nos fôt por cen majorar los .

Carcul des R("p", "n")[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

On dèsigne per la partia entiére de , et per sa partia fractionnaire.

Vu que (d'aprés una formula de Legendre)n! possède math> \sum_{j=1}^\infty \left \lfloor \frac n{p^j} \right \rfloor </math> factors ègâls a "p", on obtint :

Majoracion de P1[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

Vu que châque tèrmeno vâlt sêt 0 (quand ) sêt 1 (quand ) et que tôs los tèrmenos avouéc sont nuls, on obtint :

,

donc , donc .

Majoracion de P2[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

Per , la soma dens R(p, n) est rèduita a son premiér tèrmeno, que, coma ja mencionâ, vâlt 0 ou 1. On at donc , d'yô

,

la dèrriére inègalitât venent du lèmo.


Majoracion de P3[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

En fêt, (o est lo pouent cllâf de la prôva d'Erdös) câr se alor

.

Sintèsa[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

On at botâ a

,

sêt

que, en posant , sè rècrit

.

Or donc , d'yô , tant ben que , cen qu'achavone la dèmonstracion.

Rèfèrences[changiér | changiér lo tèxto sôrsa]

  1. O est sot una fôrma vesena qu'est rapelâ l'ènonciê de Bertrand u comencement de Tchebichef 1852. Ceta reformulation est èquivalenta a l'ènonciê originâl, prècisâ en nota cé d'amont.
  2. Bredikhin 2002.
  3. Ou, cen qu'est èquivalent : « Tchebychef at dèmontrâ lo tèorèmo siuvent […] : Por [ rèèl], il y at a muens un nombro premiér comprês [strictament] entre et . »Modèlo:Ovrâjo.
  4. Èrror de citacion Balisa <ref> fôssa ; nion tèxto at étâ balyê por les refèrences apelâs DétailsDemoTchebychev. ; $2 ; consultar la pâge d’éde.
  5. Èrror de citacion Balisa <ref> fôssa ; nion tèxto at étâ balyê por les refèrences apelâs Erdos. ; $2 ; consultar la pâge d’éde.